网上有关“傅里叶变换（没明白怎么用是不是等于白看？”话题很是火热，小编也是针对傅里叶变换（没明白怎么用是不是等于白看？寻找了一些与之相关的一些信息进行分析，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您。

傅里叶分析 不仅是 数学工具 ，更颠覆世界观的 思维模式 。

时域分析： 出生，以时间贯穿，股票的走势、人的身高、 随着时间变 。

频域 ：静止的世界， 世界是永恒不变的

音乐在 时域的样子 ：时间变化的震动

频域：乐器小能手直观的理解：

傅里叶同学： 任何周期函数 ，可以作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加，组合出任何一首乐曲。

傅里叶分析 ：贯穿 时域与频域 的方法之一，分为傅里叶 级数 （Fourier Serie）和傅里叶 变换 (Fourier Transformation)

（1） 正弦波 cos （x）

（2）正弦波的 叠加 cos (x) +a.cos (3x)

（3） 发春 的正弦波的 叠加

（4） 10 个正弦波的 叠加

上升 的部分： 变陡 ，中间下降的部分： 变平 。 无穷多个 叠加变 90 度 矩形， 换一个角度看：

不同颜色正弦波： 矩形波 的各个 分量，频率分量 。频率从低到高从前向后。一定有细心的读者发现了，

每两个之间有 直线 ：0振幅正弦波， 为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的 ？

关键：

最低的频率分量看作“1”（基本单元）

有理数轴 ，数字“1”就是基本单元。数学称法为—— 基

时域基本单元 ： “1秒” ，如果将 一个角频率 为 W0 的正弦波 cos（W0t） 看作基础，那么 频域的基本单元就是W0.

有了“1”，还要有“0”才能构成世界: 频域的“0” ：cos（0t） 周期无限长的正弦波（一条直线）

在频域中， 0频率 也被称为 直流分量 ，傅里叶级数 叠加中 ：波形相对于数轴 整体向上或是向下 而 不改变 波的形状。

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆

想看动图的同学请戳这里：

File:Fourier series square wave circles animation.gif

频域里：矩形波

频谱中，偶数项的振幅都是0，对应彩色直线

老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

世界就像皮影戏的大幕布，幕后无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却 无法预测他下一步 会去哪。而幕布后面的 齿轮 却永远 一直那样 不停的旋转，永不停歇。

上一章：从侧面看。这一章：从下面看。

(1)频道 （广播、电视）：频率的通道，将 不同的频率 作为通道来 信息传输 。

把sin（5x）给我从图里拿出去，不可能做到。

频域 ： 简单的很 ，几条竖线而已。 so需要傅里叶变换

ps:从 曲线中 去除一些特定的 频率 成分，称为 滤波(信号处理) ，频域才能做到。

(2)解微分方程 。

通过时域到频域的变换 ，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中， 振幅，频率，相位 缺一不可， 不同相位决定了波的位置

正弦波是周期的， 小红点 ： 正弦波位置 、 距离频率轴 最近的 波峰 ， 粉点：波峰 距离 频率轴 的距离， 不是相位

相位差：时间差在一个周期中所占的比例 （如果将 全部周期 看作 2Pi或360度 的话）， 相位差 = (时间差/周期)*2Pi

相位谱 中的相位 除了0，就是Pi 。因为 cos（t+Pi）=-cos（t） ，所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和 3pi，5pi，7pi 都是 相同的相位 。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。

公式错误：

傅里叶级数的本质： 周期的信号 分解成 无限多分开的（离散的）正弦波 ， 宇宙似不是周期

数字信号处理的时候写过一首打油诗：

往昔连续非周期，

回忆周期不连续，

任你ZT、DFT，

还原不回去。

往昔 是一个 连续 的 非周期 信号， 回忆 是一个周期 离散信号 。

比如傅里叶级数， 时域 ： 周期且连续 的函数， 频域：非周期离散 的函数。第一章的。

时域非周期的连续信号， 转换 为一个在频域非周期的连续信号。

傅里叶变换 ： 周期无限大的 函数进行傅里叶变换。

连续谱：离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。计算上也从 求和符号 变成了 积分符号 。

虚数i：-1 的平方根 ，真正的意义：

红色的线段，长度是1。乘以 3 = 蓝色的线段，乘以-1 = 绿色的线段（原点旋转了 180 度）。

乘了两次 i 使线段旋转了 180 度， 乘一次 i = 旋转了 90 度

乘虚数i = 旋转， 欧拉公式：

这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。

经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“

这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：

欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？

光波

高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：

所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。

但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。

这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：

第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。

另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：

将以上两式相加再除2，得到：

这个式子可以怎么理解呢？

我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！

举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。

这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。

好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：

仅展示了正频率的部分

每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。将所有螺旋线连成平面

有没有人可以解释一下相量域（Phasor domain）和傅里叶级数（Fourier series）？

通俗点： 1时间的流逝是否会造成空间扭曲？ 回答：是由广义相对论提出的引力效应~我们的宇宙时空由于物质的引力作用而扭曲~反过来物质也运动在扭曲的时空里~

2爱因斯坦所说的因质量而发生的空间扭曲是指什么呢？不太好想象3维能在时空中怎样扭曲，只能想象在四维空间中扭曲。将一个四维球沿第四维坐标匀速通过原点，那么它在三维中将显示为一个从点开始变大的球，半径按正弦变化，到最大后变小。可以说这个最大球的半径就是四维球的半径。而如果把一个人拿出这个三维空间，那么相信不会是这样渐变，而是突变。另外我猜想宇宙是一个四维球面，这是从地球表面是三维球面联想出去的。这样宇宙即是有界而无限的。我不相信宇宙是无边无界的，因为那不美了，所以相信它在高一维的空间里是有界的。我猜想可以以此解释哈博现象，当然我说猜想，不要批斗我。

按能量守恒，第四维中同样有引力场等，所以应该不能用它来解释引力的产生（和前面矛盾了，前面是为了吸引你们），因此还是要用时空来解释。但是我觉得三维世界的时空不要叫四维时空吧，虽然是三个空间维加一个时间维，总觉得不好。所以就把爱因斯坦那个时空叫做三维时空嘛，三维中的时空，嘿嘿，那么二维中的时空叫二维时空。如果空间本来就是二维的，那它也有时间维，也有相对论吧，所以我认为相对论这种在三维中成立的，可以推广到任何维度~可用归纳法证明。

这里说的四维空间，看来只可以“可能”求出宇宙尺度和宇宙扩张，但我想我们可以把蛋黄取出来而不打破蛋壳吧~~~

3空间是事件发生的场所。

没有空间事件就没有发生的地方，在没有空间的情况下，即使存在物质，物质之间也没有办法发生相互影响，没有相互影响就不会产生事件，不产生事件一切存在都不会被感知，为此说空间是事件发生的场所。

事件可以在空间中移动。事件可以从一个空间区域转移到另一个空间区域，同一类事件可能在广泛的空间区域内发生。我们平时观察到一切物体都占有一定的空间区域，物体可以从一个空间区域转移到另一个空间区域。为此我们说事件可以在空间中移动。

由这件事可推知：空间不是无限可分的，物体在空间中移动必须经过连续的基本空间点。物体在空间中移动必须经过连续的每一个基本空间点，如果空间是无限可分的，基本空间点则是无穷小，因此无论怎么给物体加速，物体都不能从无穷小移动到一个具体的哪怕是非常微小的一个单位，为此物体在空间中根本无法移动；如果物体在空间中移动不必经过连续的每一个基本空间点，也就是说物体在空间中可以跳跃前进，如果是那样，我们将经常发现一个物体从某个空间区域突然消失了，同时又从另一个空间区域出线的现象，但目前我们没有观察到这样的现象，为此说物体在空间中移动必需连续经过基本空间点，而基本空间点不是无限可分的。

还可推知事件在空间中移动不消耗任何功。物体从一个空间点转移到另一个空间点时，只是物体的空间位置发生了变化，也就是说此时只是描述物体宇宙属性的一个参数发生了变化而物体本身所具有的能量不会因这一参数变化而发生任何改变。形象的说空间就有如我们平时给物体的坐标，当物体运动时，坐标不断发生变化，但只要物体的运动状态不发生变化，物体都不会有任何能量损失。

还可推知事件在空间中移动需要消耗时间。空间中最基本的单位一定非常小，可能比我们已知的任何基本粒子都小n个数量级。任何空间中的存在在空间中移动时，构成这个存在的最小粒子都会从一个基本空间单位转移到另一个相邻的基本空间单位，但这种转移总是伴随着观察者自身的时间流逝。

还可推知基本粒子不是空间基本单位振动产生的。如果基本粒子是空间基本单位的振动产生的。空间个基本粒子之间一定存在力的作用，如果空间基本粒子不存在力的作用，基本粒子就不会振动，而是一个基本粒子会碰撞其它基本单位，弹性碰撞后把动量完全传递给下一基本单位而其自身将停止运动，各基本单位间如散沙一样，这样的空间是不可理解的。如果空间基本单位之间存在力的作用，空间基本单位将不能较远的移动自己的位置，只能在自己位置附近作振动。由于各基本单位都受周围基本单位影响，为此基本单位的振动将在基本单位之间作用力的作用下很快消失，为此断定肯定不能是空间基本单位的振动产生了基本粒子。空间基本单位只能是均匀的，各空间基本单位之间不存在作用力，就像人为构造的坐标系一样。很像我们玩的三维游戏，游戏中的人物、物品都有自己的三维坐标位置，如果我们赋予游戏中的人物以自我感知的能力，这些人物就会像我们一样把周围看到的触摸到的一切当作他们的宇宙。我们编制的游戏中物体接触后的效果，我们编制的时间流逝速度，就是他们的宇宙法则，他们在这个宇宙中也会成长也会死亡，也会有爱情，也会观察他们的宇宙也会总结规律。

时间描述了事件的变化。

我们知道是变化导致了时间的概念，那么变化有没有方向呢？要解决这个问题要从变化产生的原因说起。为什么物质会产生变化呢？放久了的食物为什么会变坏呢？岩石为什么会风化呢？陨铁为什么会存在了几十亿年呢？在此我们就仔细分析一下产生以上变化的原因。食物为什么会变坏呢？原来食物中有细菌，细菌在适合的环境下会生长，当然细菌生长使用的原料就包含食物。于是我们发现，食物一点点发生了变化，开始出现了霉斑，最后整个食物表面完全被霉菌占据了，看起来和原来的食物已经完全不同了，此时我们认为食物已经完全变质，它不再适合我们人类了。刚才我们是从一个观察者的角度来审视的食物变质事件，下面我们从食物自身的角度来审视这一过程。新鲜的食物就如一个出生的人，刚开始食物身上只有一两个细菌，后来越来越多，最后食物已经不是食物，食物死亡了。食物从出生到死亡的时间是可以估算的，可是这个时间会随环境变化而出现较大的不同，为此我认为处在不同环境中的物质对时间的概念是不一样的。我们平常喜欢用秒，分，小时来描述我们的时间，可对于我们观察的那些个体，这些概念的意义是我们规定的时间单位中会发生多少影响该个体存在的事件（对外辐射多少，吸收多少，积累到何时会发生个体性质改变）。在同样环境下，同种个体的寿命是大致相当的。但不同环境中，寿命会受到很大影响。如果把之前我们提到的食物放到冰箱里，就会大大减慢它的变质速度，从而使它的存在寿命得到延长。因为观察者规定的单位时间内发生的影响两个体寿命的事件概率不一样。可观察者对个体没有实际意义，为此说对处在不同环境下的同种个体而言时间的流逝速度是不一样的。远古时期太阳系存在的环境可能与现在太阳系存在的环境有很大差异，以现在太阳系内各种原子物理反应为基础推断远古时期的实际反应情况可能存在较大差异。也可以说我们估计的太阳寿命可能不是很正确，也许存在较大误差。以上可以看出，时间具有相对性，对于每个个体的时间而言，时间描述的是个体的变化，寿命描述的是个体变化的程度。一般来说个体都要经历 产生-生长-成熟-衰老-死亡 这样的过程。从根本上说这一过程就是个体性质转变的过程，个体从一种性质转变为另一种性质，生长-成熟-衰老这几个过程实际上是量变的不同阶段。个体死亡后，新个体在此基础上产生，死亡就是产生。既然时间描述了个体的变化过程，但个体哪种变化是正的变化，哪种变化是负的变化呢？如果说生长过程是正变化，衰老过程是负变化，那个体的一生就要经历正负两种时间，总时间是零。我趋向于认为，时间只是描述个体的变化，没有方向性，虽然一般来说，变化总是有规律可循，一般个体也总是按规律发生变化，但如果调整个体的存在环境，变化规律就有可能变化，甚至变化后的规律可能与原规律相反。

一、什么是频域

从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

二、傅里叶级数(Fourier Series)的频谱

还是举个栗子并且有图有真相才好理解。

如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带 90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：

第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）

第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos (x) +a.cos (3x)

第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加

第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加

随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！）

随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）

不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。

还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：

在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。

这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。

好了，关键的地方来了！！

如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。

（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）

时域的基本单元就是“1”秒，如果我们将一个角频率为ω0的正弦波cos（ω0t）看做基础，那么频域的基本单元就是ω0。

有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0 频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。

Fourier series square wave circles animation.gif

[Fourier series sawtooth wave circles animation.gif]

介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：

这是什么奇怪的东西？

这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是—

再清楚一点：

可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。

Fourier_series_and_transform.gif

老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。

但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……

三、傅里叶级数（Fourier Series）的相位谱

上一章的关键词是：从侧面看。这一章的关键词是：从下面看。

在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。

先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：

先在纸上画一个sin（x），不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。好，接下去画一个sin（3x）+sin（5x）的图形。别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？

好，画不出来不要紧，我把sin（3x）+sin（5x）的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把sin（5x）给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条竖线而已。

所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。

再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。（这段有点难度，看不懂的可以直接跳过这段）微分方程的重要性不用我过多介绍了。各行各业都用的到。但是求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术有没有。

傅里叶分析当然还有其他更重要的用途，我们随着讲随着提。

下面我们继续说相位谱：

通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免太混论，我们用7个波叠加的图。

于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。

这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作2Pi或者360度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘2Pi，就得到了相位差。

在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。下次偷看女生裙底被发现的话，可以告诉她：“对不起，我只是想看看你的相位谱。”

注意到，相位谱中的相位除了0，就是Pi。因为cos（t+Pi）=-cos（t），所以实际上相位为Pi的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于cos（t+2Pi）=cos（t），所以相位差是周期的，pi和3pi，5pi，7pi都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为(-pi，pi]，所以图中的相位差均为Pi。

最后来一张大集合：

四、傅里叶变换（Fourier Tranformation）

傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。

所以说，钢琴谱其实并非一个连续的频谱，而是很多在时间上离散的频率，但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。

因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？

你见过大海么？

为了方便大家对比，我们这次从另一个角度来看频谱，还是傅里叶级数中用到最多的那幅图，我们从频率较高的方向

以上是离散谱，么连续谱是什么样子呢？

尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……

直到变得像波涛起伏的大海：

很抱歉，为了能让这些波浪更清晰的看到，我没有选用正确的计算参数，而是选择了一些让更美观的参数，不然这图看起来就像屎一样了。

不过通过这样两幅图去比较，大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧？原来离散谱的叠加，变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。

不过，这个故事还没有讲完，接下去，我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的，但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续，这个工具就是——

五、宇宙耍帅第一公式：欧拉公式

虚数i这个概念大家在高中就接触过，但那时我们只知道它是-1 的平方根，可是它真正的意义是什么呢?

这里有一条数轴，在数轴上有一个红色的线段，它的长度是1。当它乘以 3 的时候，它的长度发生了变化，变成了蓝色的线段，而当它乘以-1 的时候，就变成了绿色的线段，或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。

我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度，那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。

同时，我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面，也称复平面。这样我们就了解到，乘虚数i的一个功能——旋转。

现在，就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——

这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析，但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。

经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底，用这个公式来给妹子解释数学之美：”石榴姐你看，这个公式里既有自然底数e，自然数 1 和0，虚数i还有圆周率 pi，它是这么简洁，这么美丽啊！“但是姑娘们心里往往只有一句话：”臭屌丝……“

这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：

欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

关于复数更深的理解，大家可以参考：

复数的物理意义是什么？

这里不需要讲的太复杂，足够让大家理解后面的内容就可以了。

六、指数形式的傅里叶变换

有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢？

光波

高中时我们就学过，自然光是由不同颜色的光叠加而成的，而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验：

所以其实我们在很早就接触到了光的频谱，只是并没有了解频谱更重要的意义。

但不同的是，傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加，而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。

这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：

第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。

另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：

将以上两式相加再除2，得到：

这个式子可以怎么理解呢？

我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么 e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！

举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。

这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率（注意不是复频率）。

好了，刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱，现在想一想，连续的螺旋线会是什么样子：

想象一下再往下翻：

是不是很漂亮？

你猜猜，这个图形在时域是什么样子？

哈哈，是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。

顺便说一句，那个像大海螺一样的图，为了方便观看，我仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。

如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。

好了，讲到这里，相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了，我们最后用一张图来总结一下：

好了，傅里叶的故事终于讲完了，下面来讲讲我的故事：

这篇文章第一次被卸下来的地方你们绝对猜不到在哪，是在一张高数考试的卷子上。当时为了刷分，我重修了高数（上），但是后来时间紧压根没复习，所以我就抱着裸考的心态去了考场。但是到了考场我突然意识到，无论如何我都不会比上次考的更好了，所以干脆写一些自己对于数学的想法吧。于是用了一个小时左右的时间在试卷上洋洋洒洒写了本文的第一草稿。

你们猜我的了多少分？

6 分

没错，就是这个数字。而这 6 分的成绩是因为最后我实在无聊，把选择题全部填上了C，应该是中了两道，得到了这宝贵的 6 分。说真的，我很希望那张卷子还在，但是应该不太可能了。

那么你们猜猜我第一次信号与系统考了多少分呢？

45 分

没错，刚刚够参加补考的。但是我心一横没去考，决定重修。因为那个学期在忙其他事情，学习真的就抛在脑后了。但是我知道这是一门很重要的课，无论如何我要吃透它。说真的，信号与系统这门课几乎是大部分工科课程的基础，尤其是通信专业。

在重修的过程中，我仔细分析了每一个公式，试图给这个公式以一个直观的理解。虽然我知道对于研究数学的人来说，这样的学习方法完全没有前途可言，因为随着概念愈加抽象，维度越来越高，这种图像或者模型理解法将完全丧失作用。但是对于一个工科生来说，足够了。

后来来了德国，这边学校要求我重修信号与系统时，我彻底无语了。但是没办法，德国人有时对中国人就是有种藐视，觉得你的教育不靠谱。所以没办法，再来一遍吧。

这次，我考了满分，而及格率只有一半。

老实说，数学工具对于工科生和对于理科生来说，意义是完全不同的。工科生只要理解了，会用，会查，就足够了。但是很多高校却将这些重要的数学课程教给数学系的老师去教。这样就出现一个问题，数学老师讲得天花乱坠，又是推理又是证明，但是学生心里就只有一句话：学这货到底干嘛用的？

缺少了目标的教育是彻底的失败。

在开始学习一门数学工具的时候，学生完全不知道这个工具的作用，现实涵义。而教材上有只有晦涩难懂，定语就二十几个字的概念以及看了就眼晕的公式。能学出兴趣来就怪了！

好在我很幸运，遇到了大连海事大学的吴楠老师。他的课全程来看是两条线索，一条从上而下，一条从下而上。先将本门课程的意义，然后指出这门课程中会遇到哪样的问题，让学生知道自己学习的某种知识在现实中扮演的角色。然后再从基础讲起，梳理知识树，直到延伸到另一条线索中提出的问题，完美的衔接在一起！

这样的教学模式，我想才是大学里应该出现的。

最后，写给所有给我点赞并留言的同学。真的谢谢大家的支持，也很抱歉不能一一回复。因为知乎专栏的留言要逐次加载，为了看到最后一条要点很多次加载。当然我都坚持看完了，只是没办法一一回复。

本文只是介绍了一种对傅里叶分析新颖的理解方法，对于求学，还是要踏踏实实弄清楚公式和概念，学习，真的没有捷径。但至少通过本文，我希望可以让这条漫长的路变得有意思一些。

最后，祝大家都能在学习中找到乐趣…

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